已知函数f（x）=ln（ax+1）+x2-ax，a＞0，（Ⅰ）若是函数f（x）...

已知函数f（x）=ln（ax+1）+x²-ax，a＞0，
（Ⅰ）若 manfen5.com 满分网

是函数f（x）的一个极值点，求a；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A；
（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在 manfen5.com 满分网

上恒成立，求m的取值范围．

（Ⅰ）若是函数f（x）的一个极值点，求导得到f′（）=0得，求a；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调区间A，比较f′（x）=0的两根的大小，确定函数的单调区间；（Ⅲ）若对于任意的a∈[1，2]，不等式f（x）≤m在上恒成立，转化为求函数函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【解析】（Ⅰ）因为是函数f（x）的一个极值点，所以，得a2-a-2=0．因为a＞0，所以a=2．（Ⅱ）因为f（x）的定义域是，．（1）当时，列表 f（x）在，是增函数； f（x）在是减函数．（2）当时，34．gif，f（x）在是增函数．（3）当时，列表 f（x）在，（0，+∞）是增函数； f（x）在是减函数．（Ⅲ）当时，，由（Ⅱ）可知f（x）在上是增函数．当时，也有f（x）在上是增函数，所以对于对于任意的a∈[1，2]，f（x）的最大值为f（1）=ln（a+1）+1-a，要使不等式f（x）≤m在上恒成立，须ln（a+1）+1-a≤m，记g（a）=ln（a+1）+1-a，因为，所以g（a）在[1，2]上递减，g（a）的最大值为g（1）=ln2，所以m≥ln2．故m的取值范围为[ln2，+∞）．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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