在圆柱OO′中，△ABC是其下底面的内接正三角形，B1、C1是其上底面的两点，且...

在圆柱OO′中，△ABC是其下底面的内接正三角形，B₁、C₁是其上底面的两点，且B₁B⊥平面ABC，C₁C⊥平面ABC．已知AB=2，AB₁=4．
（1）求几何体ABB₁C₁C与圆柱OO'的体积之比；
（2）当点D是AC中点时，证明：AB₁∥平面BDC₁，并求二面角D-BC₁-C的余弦值．

（1）由B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，知B1B⊥AB．在Rt△ABB1中，AB=2，AB1=4，故，作AM⊥BC于M，在正△ABC中，AM=，底面半径，，，由此能求出几何体ABB1C1C与圆柱OO'的体积之比．（2）连接B1C交BC1于点E，连接DE．于是E为B1C的中点，而D为AC中点，DE∥AB1，由此能够证明AB∥平面BDC1．以B为原点，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，则，，得到平面BDC1的法向量，，平面BCC1的法向量，由此能求出二面角D-BC1-C的余弦值．【解析】（1）∵B1B⊥平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴B1B⊥AB．在Rt△ABB1中，AB=2，AB1=4， ∴，作AM⊥BC于M，在正△ABC中，AM=， ∴底面半径，， ∵， ∴几何体ABB1C1C与圆柱OO'的体积之比： =．（2）连接B1C交BC1于点E，连接DE．于是E为B1C的中点，而D为AC中点， ∴DE是△AB1C的中位线， ∴DE∥AB1， ∵DE⊂平面BDC1，AB⊄平面BDC1， ∴AB∥平面BDC1．以B为原点，BC为y轴，BB1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B（0，0，0），D（），， ∴，，设为平面BDC1的法向量，则，∴∴， ∵平面BCC1的法向量，设二面角D-BC1-C的平面角为θ，则cosθ==．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等