给定椭圆，称圆心在原点O，半径为的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C的一个焦点为，其...

（I）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程 （II）（1）由准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2）， 设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k．从而得l1，l2方程 （2）分两种情况①当l1，l2中有一条无斜率和②当l1，l2都有斜率处理． 【解析】 （I）因为，所以b=1 所以椭圆的方程为， 准圆的方程为x2+y2=4． （II）（1）因为准圆x2+y2=4与y轴正半轴的交点为P（0，2）， 设过点P（0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2， 所以，消去y，得到（1+3k2）x2+12kx+9=0， 因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点， 所以△=144k2-4×9（1+3k2）=0， 解得k=±1． 所以l1，l2方程为y=x+2，y=-x+2． （2）①当l1，l2中有一条无斜率时，不妨设l1无斜率， 因为l1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当l1方程为时，此时l1与准圆交于点， 此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=-1），即l2为y=1（或y=-1），显然直线l1，l2垂直； 同理可证l1方程为时，直线l1，l2垂直． ②当l1，l2都有斜率时，设点P（x，y），其中x2+y2=4， 设经过点P（x，y）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x-x）+y， 则，消去y得到x2+3（tx+（y-tx））2-3=0， 即（1+3t2）x2+6t（y-tx）x+3（y-tx）2-3=0，△=[6t（y-tx）]2-4•（1+3t2）[3（y-tx）2-3]=0， 经过化简得到：（3-x2）t2+2xyt+1-y2=0， 因为x2+y2=4，所以有（3-x2）t2+2xyt+（x2-3）=0， 设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点， 所以t1，t2满足上述方程（3-x2）t2+2xyt+（x2-3）=0， 所以t1•t2=-1，即l1，l2垂直． 综合①②知：因为l1，l2经过点P（x，y），又分别交其准圆于点M，N，且l1，l2垂直， 所以线段MN为准圆x2+y2=4的直径，所以|MN|=4．