已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c． （1）若函数f（x）在区间[-1，0...

（1）由函数在区间[-1，0]上是单调递减，得到导函数小于等于0恒成立即f′（-1）≤0且f′（0）≤0代入得到一个不等式组，可以把而a2+b2可视为平面区域内的点到原点的距离的平方，则由点到直线的距离公式求出即可得到最小值； （2）f（1）=0得到a、b、c的关系式，利用关系式化简f（x），因为函数f（x）的三个零点分别为，所以方程的两根为，利用根与系数的关系化简可得证． 【解析】 （1）依题意，f′（x）=3x2+2ax+b≤0，在[-1，0]上恒成立． 只需要即可，也即 ，而a2+b2可视为平面区域 内的点到原点的距离的平方，由点到直线的距离公式d2==， ∴a2+b2的最小值为． （2）由f（1）=0，得c=-a-b-1， ∴f（x）=x3+ax2+bx+c=x3+ax2+bx-（a+b+1）=（x-1）[x2+（a+1）x+（a+b+1）] 因为函数f（x）的三个零点分别为， ∴方程x2+（a+1）x+（a+b+1）=0的两根是，， ∴+=-（a+1），=a+b+1． =（a+1）2即1-t+2+1+t=（a+1）2 ∴2+2（a+b+1）=（a+1）2 ∴a2=2b+3