已知函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{an}满足a1=，ln（2an+1...

已知函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{a_n}满足a₁= manfen5.com 满分网

，ln（2a_n+1）=a_n+1•a_n+f
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若a=1，证明：数列 manfen5.com 满分网

是等差数列；
（3）在（2）的条件下，证明：a₁+a₂+…+a_n＜n+ln manfen5.com 满分网

．

（1）f'（x）=-，当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（-1，+∞）递减；当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0；x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0．由此能f（x）的单调性．（2）由an+1=，知，所以，由此能证明数列是等差数列．（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减，所以ln（x+1）≤x，故ln（，由此能够证明a1+a2+…an=n-（．【解析】（1）f'（x）=- 当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（-1，+∞）递减；当a＞0时，x∈（-1，a-1），f'（x）＞0； x∈（a-1，+∞），f'（x）＜0； ∴当a＞0时，在（-1，a-1）上f（x）递增，在（a-1，+∞）上f（x）递减…..（4分）（2）∵函数f（x）=aln（x+1）-x，数列{an}满足a1=， ln（2an+1）=an+1•an+f（an+1•an），a=1， ∴ln（2an+1）=an+1•an+ln（an+1•an+1）-an+1•an， ∴ln（2an+1）=ln（an+1•an+1）， ∴2an+1=an+1•an+1， ∴an+1=， ∴， ∴， ∴是等差数列…..（8分）（3）当a=1时，f（x）在（-1，0）递增，在（0，+∞）递减， ∴f（x）≤f（0）=0，即：ln（x+1）≤x， ∴ln（≤，由（2）得：an=1-， ∴a1+a2+…an =1-+1-+…+1- =n-（＜n-[ln（）+ln（）+…+ln（）] =n-[ln（）] =n-ln =n+ln．…（13分）

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考点分析：

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如图，△ABC为一个等腰三角形的空地，底边AB长为4（百米），腰长为3（百米），现决定在空地上修一条笔直的小路EF（宽度不计），将该空地分成一个四边形和一个三角形，设分成的四边形和三角形周长相等，面积分别为S₁和S₂，
（1）若小路一端E为AC中点，求小路的长度；
（2）求 manfen5.com 满分网