已知椭圆的右焦点恰好是抛物线C：y2=4x的焦点F，点A是椭圆E的右顶点．过点A...

（1）根据抛物线方程求得焦点坐标，进而设直线l：x=a+my代入抛物线方程设M（x1，y1），N（x2，y2），根据韦达定理可求得y1+y2和y1y2，进而求得x1x2，进而根据OM⊥ON得进而求得a和b，则椭圆方程可得． （2）先看当QM为等腰△QMN的底边时，进而推断出O是线段MQ的中点，求得m；再看当QN为等腰△QMN的底边时，根据y1y2=-16，求得m，则直线方程可得． 【解析】 （1）F（1，0），∴a2-b2=1，A（a，0）， 设直线l：x=a+my代入y2=4x中， 整理得y2-4my-4a=0．设M（x1，y1），N（x2，y2）， 则， 又∵y12=4x1，y22=4x2， ∴， 由OM⊥ON得， 解得a=4或a=0（舍），得b2=15 所以椭圆E的方程为． （2）椭圆E的左顶点B（-4，0），所以点Q（-4，y2）．易证M，O，Q三点共线． （I）当QM为等腰△QMN的底边时，由于ON⊥OM，∴O是线段MQ的中点， ∴，所以m=0，即直线MN的方程为x=4； （II）当QN为等腰△QMN的底边时， 又∵y1y2=-16， 解得，或 ∴， 所以直线MN的方程为，即； 综上，当△QMN为等腰三角形时，直线MN的方程为x=4或．