在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上．...

（Ⅰ）欲证BC⊥A1B，可寻找线面垂直，而A1A⊥BC，AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB，AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A，根据线面垂直的判定定理可知BC⊥平面A1AB，问题得证； （Ⅱ）根据直三棱柱的性质可知A1A⊥面BPC，求三棱锥P-A1BC的体积可转化成求三棱锥A1-PBC的体积，先求出三角形PBC的面积，再根据体积公式解之即可． 【解析】 （Ⅰ）∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱， ∴A1A⊥平面ABC，又BC⊂平面ABC， ∴A1A⊥BC （2分） ∵AD⊥平面A1BC，且BC⊂平面A1BC， ∴AD⊥BC．又AA1⊂平面A1AB， AD⊂平面A1AB，A1A∩AD=A， ∴BC⊥平面A1AB，（5分） 又A1B⊂平面A1BC， ∴BC⊥A1B；（6分） （Ⅱ）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥AB． ∵AD⊥平面A1BC，其垂足D落在直线A1B上， ∴AD⊥A1B． 在Rt∠△ABD中，，AB=BC=2， ，∠ABD=60°， 在Rt∠△ABA1中，．（8分） 由（Ⅰ）知BC⊥平面A1AB，AB⊂平面A1AB， 从而BC⊥AB，． ∵P为AC的中点，（10分） ∴=．（12分）