已知椭圆和圆O：x2+y2=b2，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，...

已知椭圆

和圆O：x²+y²=b²，过椭圆上一点P引圆O的两条切线，切点分别为A，B．
（1）（ⅰ）若圆O过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e；
（ⅱ）若椭圆上存在点P，使得∠APB=90°，求椭圆离心率e的取值范围；
（2）设直线AB与x轴、y轴分别交于点M，N，求证： manfen5.com 满分网

为定值．

（Ⅰ）（ⅰ）由圆O过椭圆的焦点，知圆O：x2+y2=b2，由此能求出椭圆的离心率e；（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得，|OP|2=2b2≤a2，由此能求出椭圆离心率e的取值范围；（Ⅱ）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则，所以PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2．由此入手能得到为定值．【解析】（Ⅰ）（ⅰ）∵圆O过椭圆的焦点，圆O：x2+y2=b2， ∴b=c，∴b2=a2-c2=c2，∴a2=2c2， ∴．（3分）（ⅱ）由∠APB=90°及圆的性质，可得， ∴|OP|2=2b2≤a2，∴a2≤2c2 ∴，．（6分）（Ⅱ）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），则整理得xx+yy=x12+y12∵x12+y12=b2 ∴PA方程为：x1x+y1y=b2，PB方程为：x2x+y2y=b2． ∴x1x+y1y=x2x+y2y，∴，直线AB方程为，即xx+yy=b2．令x=0，得，令y=0，得， ∴， ∴为定值，定值是．（12分）

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考点分析：

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