．(本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx，g(x)=ex． ( I)若函...

．(本小题满分14分)已知函数f (x)=lnx，g(x)=e^x．

( I)若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；

(Ⅱ)设直线l为函数的图象上一点A(x₀，f (x₀))处的切线．证明：在区间(1，+∞)上存在唯一的x₀，使得直线l与曲线y=g(x)相切．

【解析】（Ⅰ），．·················· 2分 ∵且， ∴ ∴函数的单调递增区间为．··············· 4分（Ⅱ）∵ ，∴， ∴ 切线的方程为, 即, ① ··················· 6分设直线与曲线相切于点， ∵，∴，∴．··············· 8分 ∴直线也为，即， ②···················· 9分由①②得， ∴．·························· 11分下证：在区间（1，+）上存在且唯一. 由（Ⅰ）可知，在区间上递增．又，，······ 13分结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根，这个根就是所求的唯一．故结论成立．【解析】略

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等