(本题满分12分)
已知椭圆
的一个焦点是(1,0),两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点(4,0)且不与坐标轴垂直的直线
交椭圆
于
、
两点,设点关于
轴的对称点为
.求证:直线
过轴上的一定点,并求出此定点坐标.
(本题满分12分)
已知函数
.
(1)求
的单调区间；
(2)若不等式
对任意
恒成立,求a的范围.
.(本题满分12分)
甲、乙两位学生参加数学竞赛培训.现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次,记录如下：
甲: 82 81 79 78 95 88 93 84
乙: 92 95 80 75 83 80 90 85
(1)画出甲、乙两位学生成绩的茎叶图,求出甲学生成绩的平均数以及乙学生成绩的中位数；
(2)若将频率视为概率,对甲学生在今后的三次数学竞赛成绩进行预测,记这三次成绩中高于80分的次数为
,求的分布列及数学期望
.
(本题满分12分)
已知等差数列
的公差大于0,且
是方程
的两根，数列
的前
项的和为
,且
．
(1) 求数列、的通项公式；
(2)设
,求数列
的前项和.
本题满分12分)
如图,在直三棱柱ABC－A1B1C1中,AC＝3,
BC＝4,
,AA1＝4,.点D是AB的中点．
(1)求证：AC⊥BC1；
(2)求二面角
的平面角的正切值.
如图,正
的中线
与中位线
相交
,
已知
是
绕旋转过程中的一个
图形(
不与
重合).现给出下列四个命题:
①动点在平面
上的射影在线段上;
②平面
平面
;
③三棱锥
的体积有最大值;
④异面直线
与
不可能垂直.其中正确的命题的序号是_________.
