（本小题满分14分）已知函数f(x)=m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1...

（本小题满分14分）

已知函数f(x)=m(x－1)2－2x+3+lnx（m≥1）．

(Ⅰ)当时，求函数f(x)在区间[1，3]上的极小值；

（Ⅱ）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a，b]；

（Ⅲ）是否存在实数m，使曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处的切线l与曲线C有且只有一个公共点？若存在，求出实数m的值，若不存在，请说明理由．

【解析】 (Ⅰ)（x>0）．当时，，令，得x1=2，x2=． f(x)，的变化情况如下表： x (0，) （，2） 2 （2，+∞） + 0 － 0 + f(x) 单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以，当x＝2时，函数f(x)取到极小值，且极小值为f(2)=ln2－．………………………… 4分（Ⅱ）令＝0，得mx2－(m+2)x+1=0．（*）因为△＝(m+2)2－4m=m2+4>0，所以方程（*）存在两个不等实根，记为a，b（a0，b>0，即方程（*）有两个不等的正根，因此<0的解为（a，b）．故函数f(x)存在单调递减区间．………………………… 8分（Ⅲ）因为，所以曲线C：y=f(x)在点P(1，1)处的切线l为y=－x+2．若切线l与曲线C只有一个公共点，则方程m(x－1)2－2x+3+lnx=－x+2有且只有一个实根．显然x＝1是该方程的一个根．令g(x)=m(x－1)2－x+1+lnx，则．当m=1时，有≥0恒成立，所以g(x)在（0，+∞）上单调递增，所以x＝1是方程的唯一解，m=1符合题意．当m>1时，令＝0，得x1=1，x2=，则x2∈（0，1），易得g(x)在x1处取到极小值，在x2处取到极大值．所以g(x2)>g(x1)=0，又当x→0时，g(x)→－∞，所以函数g(x)在（0，）内也有一个解，即当m>1时，不合题意．综上，存在实数m，当m＝1时，曲线C：y=f(x)在点P（1，1）处切线l与C有且只有一个公共点 14分【解析】略

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考点分析：

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