(本小题满分12分)已知函数f(x)=,x∈［0，2］. （1）求f(x)的值域...

(本小题满分12分)已知函数f(x)=,x∈［0，2］.

（1）求f(x)的值域；

（2）设a≠0,函数g(x)=ax³-a²x,x∈［0，2］.若对任意x₁∈［0，2］，总存在x₂∈［0，2］，使f(x₁)-g(x₂)=0.求实数a的取值范围.

解（1）对函数f(x)求导，f′(x)=·. 令f′(x)=0,得x=1或x=-1. 当x∈(0,1)时，f′(x)＞0,f(x)在(0,1）上单调递增；当x∈(1,2)时，f′(x)＜0,f(x)在（1，2）上单调递减.又f(0)=0,f(1)=,f(2)=, ∴当x∈［0，2］时，f(x)的值域是. (2)设函数g(x)在［0，2］上的值域是A. ∵对任意x1∈［0，2］，总存在x0∈［0，2］，使f(x1)-g(x0)=0,∴A. 对函数g(x)求导，g′(x)=ax2-a2. ①当x∈(0,2),a＜0时，g′(x)＜0, ∴函数g(x)在（0，2）上单调递减. ∵g(0)=0,g(2)=a-2a2＜0, ∴当x∈［0，2］时，不满足A； ②当a＞0时，g′(x)=a(x-)(x+). 令g′(x)=0，得x=或x=-（舍去）. （ⅰ)当x∈［0，2］，0＜＜2时，列表： ∵g(0)=0,g()＜0, 又∵A，∴g（2）=≥. 解得≤a≤1. (ⅱ)当x∈(0,2),≥2时，g′(x)＜0, ∴函数在（0，2）上单调递减， ∵g（0）=0，g（2）=＜0, ∴当x∈［0，2］时，不满足A. 综上，实数a的取值范围是. 【解析】略

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等