已知数列（1）求数列的通项公式；（2）证明：；（3）设

已知数列

（1）求数列的通项公式；

（2）证明：；

（3）设

(1)由,得令,有 ∴ ＝＝又b1＝2a1＝2, ∴ ∴ 4分 (2)证法1：(数学归纳法) 1°,当n＝1时,a1＝1,满足不等式 2°,假设n＝k(k≥1,k∈N*)时结论成立即,那么＝即又由1°,2°可知,n∈N*,都有成立 9分证法2：由⑴知： ∵,,∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 当n＝1时,,综上 9分证法3： ∴为递减数列当n＝1时,an取最大值 ∴an≤1 由(1)中知综上可知 9分 (3) 欲证：即证即ln(1＋Tn)－Tn＜0,构造函数f (x)＝ln(1＋x)－x ∵当x＞0时,f ' (x)＜0 ∴函数y＝f (x)在(0,＋∞)内递减 ∴f (x)在[0,＋∞)内的最大值为f (0)＝0 ∴当x≥0时,ln(1＋x)－x≤0 又∵Tn＞0,∴ln(1＋Tn)－Tn＜0 ∴不等式成立..14分

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考点分析：

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