已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D为AH上的一点...

已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D为AH上的一点，且DH=HC，连结BD并延长BD交AC于点E，连结EH．

（1）请补全图形；

（2）直接写出BD与AC的数量关系和位置关系；

（3）求证：∠BEH=45°．

（1）见解析；（2）BD=AC，BD⊥AC；（3）证明见解析. 【解析】（1）根据题意直接补全图形；（2）先判断出△ABH为等腰直角三角形，进而得出△AHC≌△BHD，最后用对顶角和等量代换即可得出∠ADE+∠DAE=90°，结论得证；（3）先利用同角或等角的余角相等得出结论即可判断出△AHE≌△BHF，即可得出EH=FH，结论得证．（1）补全图形如图1所示；（2）BD=AC ；BD⊥AC；（3）∵AH⊥BC于点H，∠ABC＝45°， ∴△ABH为等腰直角三角形， ∴AH＝BH，∠BAH＝45°，在△AHC和△BHD中， ∴△AHC≌△BHD， ∴∠1=∠2，如图2，过点H作HF⊥HE交BE于点F， ∴∠FHE=90° 即∠4+∠5=90° 又∵∠3+∠5=∠AHB=90° ∴∠3=∠4 在△AHE和△BHF中， ∴△AHE≌△BHF ∴EH=FH ∵∠FHE=90° ∴△FHE是等腰直角三角形 ∴∠BEH=45°

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