如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，A...

（1）已知C在圆上，故只需证明OC与PC垂直即可；根据圆周角定理，易得∠PCB+∠OCB=90°，即OC⊥CP；故PC是⊙O的切线； （2）AB是直径；故只需证明BC与半径相等即可； （3）连接MA，MB，由圆周角定理可得∠ACM=∠BCM，进而可得△MBN∽△MCB，故BM2=MN•MC；代入数据可得MN•MC=BM2=8． （1）证明：∵OA=OC， ∴∠A=∠ACO． 又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB， ∴∠A=∠ACO=∠PCB． 又∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACO+∠OCB=90°． ∴∠PCB+∠OCB=90°． 即OC⊥CP， ∵OC是⊙O的半径． ∴PC是⊙O的切线．（3分） （2）证明：∵AC=PC， ∴∠A=∠P， ∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P． 又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB， ∴∠COB=∠CBO， ∴BC=OC． ∴BC=AB．（6分） （3）【解析】 连接MA，MB， ∵点M是的中点， ∴， ∴∠ACM=∠BCM． ∵∠ACM=∠ABM， ∴∠BCM=∠ABM． ∵∠BMN=∠BMC， ∴△MBN∽△MCB． ∴． ∴BM2=MN•MC． 又∵AB是⊙O的直径，， ∴∠AMB=90°，AM=BM． ∵AB=4， ∴BM=2． ∴MN•MC=BM2=8．（10分）