已知AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动（点C与点A不重合），以OC为直...

（1）连接OD，由直径对的圆周角是直角知∠CDO=90°，再切线的判定方法即可判定CD是半圆O的切线； （2）连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则根据垂直于同一直线的两条直线平行知，EG∥OD．CE平分∠DCB，由角的平分线上的点到角的两边的距离相等知EG=EF，由直径对的圆周角是直角知∠CEO=∠CEK=90°，易得△COE≌△CKE，有OE=KE，即点E是OK的中点，所以EG是△ODK的OD边对的中位线，则EG是OD的长的一半，从而得证题设； （3）、如图，延长OE交CD于点K，设OF=x，EF=y，由2中知，OA=OK=2OE=2y，易得四边形AFEN是矩形，有NE=AF=OA-OF=2y-x．由于NE∥OC，点E是OK的中点，则EN是△OCK的OC对的中位线，有N是CK的中点．所以CO=2NE=2（2y-x），进一步得到CF=CO-OF=4y-3x，由Rt△CEF∽Rt△EOF则有EF2=CF•OF，由此得到关于x，y的方程，变形即可求出或进而确定tan∠EOC的值． （1）证明：如图，连接OD， 则OD为半圆O的半径 ∵OC为半圆M的直径 ∴∠CDO=90° ∴CD是半圆O的切线； （2）【解析】 猜想：EF=OA． 证明：如图2， 连接OD、OE，延长OE交CD于点K，作EG⊥CD于点G，则EG∥OD， ∵CE平分∠DCB， ∴∠OCE=∠KCE． ∵EF⊥AB， ∴EG=EF． ∵OC是半圆M的直径，E为半圆M上的一点， ∴∠CEO=∠CEK=90°． ∵CE为公共边， ∴△COE≌△CKE． ∴OE=KE． ∵EG∥OD， ∴DG=GK． ∴EF=EG=OD=OA． （3）【解析】 如图3， 延长OE交CD于点K， 设OF=x，EF=y，则OA=2y， ∵NE∥CB，EF⊥CB，NA切半圆O于点A， ∴四边形AFEN是矩形， ∴NE=AF=OA-OF=2y-x， 同（2）证法一，得E是OK的中点， ∴N是CK的中点， ∴CO=2NE=2（2y-x）， ∴CF=CO-OF=4y-3x， ∵EF⊥AB，CE⊥EO， ∴Rt△CEF∽Rt△EOF， ∴EF2=CF•OF，即y2=x（4y-3x）， 解得或， 当=3时，tan∠EOC===3， 当=1时，点C与点A重合，不符合题意，故舍去， ∴tan∠EOC=3．