问题探究：（1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是...

问题探究：
（1）如图①所示是一个半径为 manfen5.com 满分网

，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是圆柱的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆柱的侧面爬行一周到达B点，求蚂蚁爬行的最短路程．（探究思路：将圆柱的侧面沿母线AB剪开，它的侧面展开图如图①中的矩形ABB′A′，则蚂蚁爬行的最短路程即为线段AB′的长）；
（2）如图②所示是一个底面半径为 manfen5.com 满分网

，母线长为4的圆锥和它的侧面展开图，PA是它的一条母线，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到A点，求蚂蚁爬行的最短路程；
（3）如图③所示，在②的条件下，一只蚂蚁从A点出发沿圆锥的侧面爬行一周到达母线PA上的一点，求蚂蚁爬行的最短路程．
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（1）蚂蚁爬行的最短路程为矩形的对角线的长度，由勾股定理可求得．（2）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中的AA′的连线，可求得△PAA′是等边三角形，则AA′=PA=4．（3）蚂蚁爬行的最短路程为圆锥展开图中点A到PA的距离．【解析】（1）∵BB′=2π×=3， AB′==5．即蚂蚁爬行的最短路程为5．（4分）（2）连接AA′，则AA′的长为蚂蚁爬行的最短路程，设r1为圆锥底面半径，r2为侧面展开图（扇形）的半径，则，由题意得：，即， ∴n=60， ∴△PAA′是等边三角形， ∴最短路程为AA′=PA=4．（3）如图③所示是圆锥的侧面展开图，过A作AC⊥PA′于点C，则线段AC的长就是蚂蚁爬行的最短路程． ∴AC=PA•sin∠APA'=4×sin60°=4×=， ∴蚂蚁爬行的最短距离为．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等

问题探究： （1）如图①所示是一个半径为，高为4的圆柱体和它的侧面展开图，AB是...

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