已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．（1）将△PAB绕点B...

已知，点P是正方形ABCD内的一点，连PA、PB、PC．
（1）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置（如图1）．
①设AB的长为a，PB的长为b（b＜a），求△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积；
②若PA=2，PB=4，∠APB=135°，求PC的长；
（2）如图2，若PA²+PC²=2PB²，请说明点P必在对角线AC上．

（1）△PAB旋转到△P′CB的过程中边PA所扫过区域（图1中阴影部分）的面积实际是大扇形OAC与小扇形BPP′的面积差，且这两个扇形的圆心角同为90度；（2）连接PP′，证△PBP′为等腰直角三角形，从而可在Rt△PP′C中，用勾股定理求得PC=6；（3）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，由勾股逆定理证出∠P′CP=90°，再证∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．【解析】（1）①S阴影=S扇形ABC+S△BP′C-S扇形PBP′-S△ABP =S扇形ABC-S扇形PBP′ =， =（a2-b2）； ②连接PP′，根据旋转的性质可知： BP=BP′，∠PBP′=90°；即：△PBP′为等腰直角三角形， ∴∠BPP′=45°， ∵∠BPA=∠BP′C=135°，∠BP′P=45°， ∴∠BPA+∠BPP′=180°，即A、P、P′共线， ∴∠PP′C=135°-45°=90°；在Rt△PP′C中，PP′=4，P′C=PA=2，根据勾股定理可得PC=6．（2）将△PAB绕点B顺时针旋转90°到△P′CB的位置，连接PP′．同（1）①可知：△BPP′是等腰直角三角形，即PP′2=2PB2； ∵PA2+PC2=2PB2=PP′2， ∴PC2+P′C2=PP′2， ∴∠P′CP=90°； ∵∠PBP′=∠PCP′=90°，在四边形BPCP′中，∠BP′C+∠BPC=180°； ∵∠BPA=∠BP′C， ∴∠BPC+∠APB=180°，即点P在对角线AC上．

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考点分析：

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lR．接着老师让同学们解决两个问题：
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试题属性

题型：解答题
难度：中等

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