如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），B（4，1），以BC为直径的...

（1）设以BC为直径的圆的圆心为M，由于⊙M过点D，由圆周角定理可得∠BDC=90°；即可证得△ABD∽△ODC，可用OD表示出DA，根据相似三角形得到的比例线段，即可求得OD的长，由此可得到点D、E的坐标； （2）用待定系数法求解即可求出该抛物线的解析式； （3）首先求出直线CD的解析式；由于CD⊥BD，且点C在抛物线的图象上，因此C点就是符合条件的Q点；同理可先求出过B点且平行于CD的直线l的解析式，直线l与抛物线的交点（B点除外）也应该符合Q点的要求． 【解析】 （1）取BC的中点M，过M作MN⊥x轴于N；则M点即为以BC为直径的圆的圆心； ∵点D是⊙M上的点，且BC是直径， ∴∠BDC=90°； ∴∠OCD=∠BDA=90°-∠ODC； 又∵∠COD=∠OAB， ∴△OCD∽△ADB； ∴； ∵OC=3，AB=1，OA=OD+DA=4， ∴3×1=OD×（4-OD）， 解得AD=1，OD=3； ∵点D在点E右边， ∴OD=3，OE=1； 即D（3，0），E（1，0）； （2）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，（a≠0），依题意， 有：， 解得； ∴y=x2-x+3； （3）假设存在这样的Q点； ①△BDQ以D为直角顶点； 由于CD⊥BD，且C点在抛物线的图象上， 所以C点符合Q点的要求； 此时Q（0，3）； ②△BDQ以B为直角顶点； 易知直线CD的解析式为：y=-x+3； 作过B的直线l，且l∥CD； 设l的解析式为y=-x+h，由于l经过点B（4，1）， 则有：-4+h=1，h=5； ∴直线l的解析式为y=-x+5； 联立抛物线的解析式有： ， 解得，； ∴Q（-1，6）； 综上所述，存在符合条件的Q点，且Q点坐标为（0，3）或（-1，6）．