已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，有一个圆心角为45°，半径的长...

（Ⅰ）考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，只需证DN=BN，∠MDN=90°就可以了； （Ⅱ）还将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，△GCM≌△ACM，然后由勾股定理即可证明． （Ⅰ）证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN， ∴△DCM≌△ACM（1分） ∴CD=CA，DM=AM，∠DCM=∠ACM，∠CDM=∠A 又∵CA=CB， ∴CD=CB（2分）， ∴∠DCN=∠ECF-∠DCM=45°-∠DCM ∠BCN=∠ACB-∠ECF-∠ACM =90°-45°-∠ACM=45°-∠ACM ∴∠DCN=∠BCN （3分） 又∵CN=CN， ∴△CDN≌△CBN．（4分） ∴DN=BN，∠CDN=∠B． ∴∠MDN=∠CDM+∠CDN=∠A+∠B=90°．（5分） ∴在Rt△MDN中，由勾股定理 ∴MN2=DM2+DN2，即MN2=AM2+BN2．（6分） （Ⅱ）【解析】 关系式MN2=AM2+BN2仍然成立．（7分） 证明：∵将△ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN， ∴△GCM≌△ACM．（8分） ∴CG=CA，GM=AM，∠GCM=∠ACM，∠CGM=∠CAM， 又∵CA=CB，得CG=CB． ∵∠GCN=∠GCM+∠ECF=∠GCM+45° ∴∠BCN=∠ACB-∠ACN=90°-（∠ECF-∠ACM）=45°+∠ACM 得∠GCN=∠BCN． （8分） 又∵CN=CN， ∴△CGN≌△CBN． ∴GN=BN，∠CGN=∠B=45°，∠CGM=∠CAM=180°-∠CAB=135°， ∴∠MGN=∠CGM-∠CGN=135°-45°=90°， ∴在Rt△MGN中，由勾股定理， ∴MN2=GM2+GN2，即MN2=AM2+BN2．（9分）