（1）已知：如图1，在矩形ABCD中，AF=BE．求证：DE=CF； （2）已知...

（1）根据AF=BE可知，AE=BF；再利用SAS可证出△ADE≌△CBF，得到DE=CF． （2）作O1C⊥AB于C，利用垂径定理和勾股定理可求出O1A的长． （1）证明：∵AF=BE，EF=EF，∴AE=BF．   （1分） ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°，AD=BC．                （3分） ∴△DAE≌△CBF．                       （4分） ∴DE=CF；（5分） （2）【解析】 过点O1作O1C⊥AB，垂足为C， 则有AC=BC．                                      （6分） 由A（1，0）、B（5，0），得AB=4，∴AC=2．         （7分） 在Rt△AO1C中，∵O1的纵坐标为， ∴O1C=．                                         （9分） ∴⊙O1的半径O1A==3． （10分）