已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH...

已知点E、F在△ABC的边AB所在的直线上，且AE=BF，FH∥EG∥AC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G．
（1）如图1，如果点E、F在边AB上，那么EG+FH=AC；
（2）如图2，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______；
（3）如图3，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是______．
对（1）（2）（3）三种情况的结论，请任选一个给予证明．
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（1）由FH∥EG∥AC，得，△BFH∽△BEG∽△BAC，得，由比例的性质求解；（2）过点E作EP∥BC交AC于P，由四边形EPCG为平行四边形，得EG=PC，证△BHF≌△EPA得HF=AP即可得到答案；（3）方法同2．（1）证明：∵FH∥EG∥AC， ∴∠BFH=∠BEG=∠A，△BFH∽△BEG∽△BAC． ∴． ∴．又∵BF=EA， ∴． ∴． ∴AC=FH+EG．（2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG+FH=AC．证明（2）：过点E作EP∥BC交AC于P， ∵EG∥AC， ∴四边形EPCG为平行四边形． ∴EG=PC． ∵HF∥EG∥AC， ∴∠F=∠A，∠FBH=∠ABC=∠AEP．又∵AE=BF， ∴△BHF≌△EPA． ∴HF=AP． ∴AC=PC+AP=EG+HF．即EG+FH=AC．（3）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG-FH=AC．如图，过点A作AP∥BC交EG于P， ∵EG∥AC， ∴四边形APGC为平行四边形． ∴AC=PG． ∵HF∥EG∥AC， ∴∠F=∠E，∠FBH=∠ABC=∠PAE．又∵AE=BF， ∴△BHF≌△EPA． ∴HF=EP． ∴AC=EG-EP=EG-HF．即EG-FH=AC．

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考点分析：

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如图，用三个全等的菱形ABGH、BCFG、CDEF拼成平行四边形ADEH，连接AE与BG、CF分别交于P、Q，
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（2）观察图形，是否有三角形与△ACQ全等？并证明你的结论．
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（2）求AE的长．

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（1）求证：△ADE≌△BCF；
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（1）在备用图中，画出满足上述条件的图形，记为图②，试用刻度尺在图①、②中量得AQ、BQ的长度，估计AQ、BQ间的关系，并填入下表：（长度单位：cm）

	AQ长度	BQ长度	AQ、BQ间的关系
图①中
图②中

由上表可猜测AQ、BQ间的关系是AQ=3QB；
（2）上述（1）中的猜测AQ、BQ间的关系成立吗？为什么？
（3）若将平行四边形ABCD改为梯形（AB∥CD）其他条件不变，此时（1）中猜测AQ、BQ间的关系是否成立？（不必说明理由）
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（2）如图2所示，将（1）中等边△ABC的形状改成以BC为底边的等腰三角形，所作△EDC相似于△ABC，请问仍有AE∥BC？证明你的结论．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等