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已知,如图,AD为Rt△ABC斜边BC上的高,点E为DA延长线上一点,连接BE,过点C作CF⊥BE于点F,交AB、AD于M、N两点.
(1)若线段AM、AN的长是关于x的一元二次方程x2-2mx+n2-mn+manfen5.com 满分网m2=0的两个实数根,求证:AM=AN;
(2)若AN=manfen5.com 满分网,DN=manfen5.com 满分网,求DE的长;
(3)若在(1)的条件下,S△AMN:S△ABE=9:64,且线段BF与EF的长是关于y的一元二次方程5y2-16ky+10k2+5=0的两个实数根,求BC的长.

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(1)根据根的判别式△=0,判断出AM=AN, (2)判断出△ADC∽△BDA,△ADC∽△BDA,利用相似三角形的性质解答, (3)根据面积比等于相似比的平方解答. (1)证明:△=(-2m)2-4(n2-mn+m2)=-(m-2n)2≥0, ∴(m-2n)2≤0, ∴m-2n=0, ∴△=0 ∴一元二次方程x2-2mx+n2-mn+m2=0有两个相等实根, ∴AM=AN. (2)【解析】 ∵∠BAC=90°,AD⊥BC, ∴∠ADC=∠ADB=90°, ∠DAC=∠DBA, ∴△ADC∽△BDA, ∴=, ∴AD2=BD•DC, ∵CF⊥BE, ∴∠FCB+∠EBD=90°, ∵∠E+∠EBD=90°, ∴∠E=∠FCB, ∵∠NDC=∠EDB=90°, ∴△EBD∽△CND, ∴△ADC∽△BDA, ∴=, ∴BD•DC=ED•DN, ∴AD2=ED•DN, ∵AN=,DN=, ∴AD=DN+AN=3, ∴32=DE, ∴DE=8. (3)【解析】 由(1)知AM=AN, ∴∠AMN=∠ANM ∵∠AMN+∠CAN=90°,∠DNC+∠NCD=90°, ∴∠ACM=∠NCD ∵∠BMF+∠FBM=90°,∠AMC+∠ACM=90°, ∴∠ACM=∠FBM 由(2)可知∠E=∠FCB, ∴∠ABE=∠E, ∴AB=AE 过点M作MG⊥AN于点G 由MG∥BD得=, ∴===, ∴=, ∴==, 过点A作AH⊥EF于点H, 由AH∥FN, 得==, 设EH=8a,则FH=3a, ∵AE=AB, ∴BH=HE=8a, ∴BF=5a,EF=11a, 由根与系数关系得,, 解得:a=±, ∵a>0,a=, ∴BF=, 由∠ACM=∠MCB,∠DAC=∠DBA可知△ACN∽△BCM, ∴== 设AC=3b,则BC=5b 在Rt△ABC中,有AB=4b. ∴AM=. 在Rt△ACM中,有MC= 由△ACM∽△FCB得,∴, ∴BC=5.
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考点分析:
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如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,sinB=manfen5.com 满分网,D是BC上一点,DE⊥AB,垂足为E,CD=DE,AC+CD=9.求BC的长.

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(1)在图①中,求证:AF⊥BG,DF=CG;
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(1)试证明△PON与△QOM全等;
(2)若点O为直线BD上任意一点,其他条件不变,则△PON与△QOM又有怎样的关系?试就点O在图②所示的位置,画出图形,证明你的猜想;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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