已知：如图①，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点...

已知：如图①，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点．过O的直线MN交直线AB于点M，交直线CD于点N；过O的另一条直线PQ交直线AD于点P，交直线BC于点Q，连接PN、MQ．
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（1）试证明△PON与△QOM全等；
（2）若点O为直线BD上任意一点，其他条件不变，则△PON与△QOM又有怎样的关系？试就点O在图②所示的位置，画出图形，证明你的猜想；
（3）若点O为直线BD上任意一点（不与点B、D重合），设OD：OB=k，PN=x，MQ=y，则y与x之间的函数关系式为______．

（1）根据平行四边形的性质容易得到全等条件证明△DOP≌△BOQ，△PON≌△QOM，然后利用全等三角形的性质得到PO=QO，MO=NO，然后再证明△PON≌△QOM就可以解决问题；（2）点O为直线BD上任意一点，则△MOQ∽△NOP．根据AP∥BQ，BM∥CN可以得到比例线段，而∠NOP=∠MOQ，可以证明△MOQ∽△NOP了；（3）根据（2）和已知可以得到，根据这个等式可以求出y与x之间的函数关系式．（1）证明：在平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠PDO=∠QBO． ∵∠DOP=∠BOQ，DO=BO， ∴△DOP≌△BOQ． ∴PO=QO．（2分）同理MO=NO． ∵∠PON=∠QOM， ∴△PON≌△QOM．（4分）（2）【解析】画图．（5分） △MOQ∽△NOP．（6分） ∵AP∥BQ，BM∥CN， ∴OD：OB=OP：OQ，OD：OB=ON：OM． ∴OP：OQ=ON：OM．（7分） ∴∠NOP=∠MOQ． ∴△MOQ∽△NOP．（8分）（3）【解析】根据（2）和已知可以得到， ∴y=．（10分）

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考点分析：

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（2）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
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（1）要使△CBD∽△CAB，还需要补充一个条件是______；（只要求填一个）
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（1）当△ECF的面积与四边形EABF的面积相等时，求CE的长；
（2）当△ECF的周长与四边形EABF的周长相等时，求CE的长；
（3）试问在AB上是否存在点P，使得△EFP为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请求出EF的长．

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已知：如图①，②，在矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是边BC，CD上的点．
（1）如图①，若AP⊥PQ，BP=2，求CQ的长；
（2）如图②，若 manfen5.com 满分网

，且E，F，G分别为AP，PQ，PC的中点，求四边形EPGF的面积．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等