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如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P是A...

如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),PE上BP,P为垂足,PE交DC于点E.
(1)△ABP和△DPE是否相似?请说明理由;
(2)设AP=x,DE=y,求y与x之间的函数关系式,并指出x的取值范围;
(3)请你探索在点P运动的过程中,四边形ABED能否构成矩形?如果能,求出AP的长;如果不能,请说明理由;
(4)请你探索在点P的运动过程中,△BPE能否构成等腰三角形?如果能.求出AP的长;如果不能,请说明理由.

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(1)△ABP和△DPE是相似的,∵∠A=∠D=90°,而∠BPE=90°,根据这两个条件可以证明它们相似; (2)根据(1)得到,根据这个结论就可以求出y与x之间的函数关系式; (3)能构成矩形,∵四边形ABED已经是直角梯形,若AB=DE它就是矩形,根据这个条件和(2)中函数关系式可以求出AP长; (4)能构成等腰三角形,当AP=DE时,△ABP≌△DPE,这样可以得到BP=PE,此时△BPE为等腰三角形,然后根据函数关系式就可以求出AP长. 【解析】 (1)△ABP∽△DPE. (2)由(1)△ABP∽△DPE, ∴∴, ∴y=-x2+x(0<x<5). (3)能构成矩形. 当DE=AB=2时,∵AB∥DE,AB=DE, ∴四边形ABED为平行四边形, ∵∠A=90°, ∴平行四边形ABED为矩形. 由(2)有-x2+x=2.x1=1,x2=4. ∴当AP=1或AP=4时,ABED是矩形.(9分) (4)能构成等腰三角形. 当AP=DE时,△ABP≌△DPE,此时△BPE为等腰三角形.(1O分) 即-x2+x=x.解之得x1=3,x2=0(舍去). 即AP=3时,△BPE是等腰三角形(答等腰直角三角形同样正确).(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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