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如图,把矩形ABCD沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE与CD交于点O,连接DE...

如图,把矩形ABCD沿直线AC折叠,点B落在点E处,AE与CD交于点O,连接DE.
(1)四边形ACED是什么图形?说明理由;
(2)若AB=4cm,AD=3cm,求DE的长.

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(1)要证明等腰梯形,可看题中给的什么条件更多,在本题中,可通过证三角形全等,得出对角线之间的等量关系,因此可利用同一底上两底角相等的梯形为等腰梯形进行论证. (2)利用(1)中的结论,结合勾股定理,可列方程求解. 【解析】 解法一: (1)四边形ACED是等腰梯形(1分) 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AD=BC,∠ADC=∠B=90°,DC=AB, ∴△ADC≌△CBA(SAS), 由折叠可知:△ACE≌△ACB, ∴△ACE≌△ACB≌△CAD; ∴∠1=∠2,AD=CE,CD=AE(1分) ∴OA=OC, ∴OE=OD, ∴∠3=∠4(1分) 而∠1+∠2=∠3+∠4, ∴∠3=∠2, ∴DE∥AC; ∵在Rt△ACE中,∠1+∠ACE=90°; 在Rt△ACD中,∠2+∠DAC=90°, ∴∠DAC+∠ACE<180°, ∴CE与AD不平行; ∴四边形ACED是等腰梯形;(1分) (2)在Rt△OEC中,设EO=x,则x2+32=(4-x)2(1分) ∴x=,(1分) 由△ODE∽△OCA,得=,(1分) ∴DE=cm.(1分) 解法二: (1)四边形ACED是等腰梯形 证明:过点D、E作AC的垂线,垂足分别是G、H,则DG∥EH; ∵△ACE≌△ACB≌△CAD, ∴∠ECA=∠DAC,AD=CE; ∴Rt△ADG≌Rt△CEH, ∴DG=EH, ∴四边形DGHE是矩形, ∴DEGH, ∴DE≠AC, ∴四边形ACED是等腰梯形; (2)∵DC=AB=4cm,AD=3cm,∴AC=5cm, 在Rt△ADC中,∵DG•AC=AD•DC,即5DG=3×4, ∴DG=; ∴AG===, ∴DE=GH=AC-2AG=5-2×=cm. 解法三:(延长AD,CE相交于点P,利用全等,勾股定理,相似等解答,类似于解法一,略)
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考点分析:
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如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=50,AC=30,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点.点P从点D出发沿折线DE-EF-FC-CD以每秒7个单位长的速度匀速运动;点Q从点B出发沿BA方向以每秒4个单位长的速度匀速运动,过点Q作射线QK⊥AB,交折线BC-CA于点G.点P,Q同时出发,当点P绕行一周回到点D时停止运动,点Q也随之停止.设点P,Q运动的时间是t秒(t>0).
(1)D,F两点间的距离是______
(2)射线QK能否把四边形CDEF分成面积相等的两部分?若能,求出t的值;若不能,说明理由;
(3)当点P运动到折线EF-FC上,且点P又恰好落在射线QK上时,求t的值;
(4)连接PG,当PG∥AB时,请直接写出t的值.

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如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG,AE与CG相交于点M,CG与AD相交于点N.
求证:(1)AE=CG;(2)AN•DN=CN•MN.

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如图,▱ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,DE=manfen5.com 满分网CD.
(1)求证:△ABF∽△CEB;
(2)若△DEF的面积为2,求▱ABCD的面积.

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如图,E是矩形ABCD的边DC延长线上一点,连接AE分别交BC,BD于F,G.
(1)图中有全等三角形吗?(对角线分矩形所得两个三角形除外)若有,请写出一对来;若没有,请添加一个条件(不添加辅助线和不改变图中字母),使得图中有全等三角形,并写出来;
(2)图中有相似三角形吗?设矩形ABCD的周长为20,对角线长为2manfen5.com 满分网,求DE的长,使得你找出的一对相似三角形的相似比为2:3.

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阅读理【解析】
如图1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,点P在BC边上,当∠APD=90°时,易证△ABP∽△PCD,从而得到BP•PC=AB•CD,解答下列问题.
(1)模型探究:如图2,在四边形ABCD中,点P在BC边上,当∠B=∠C=∠APD时,求证:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展应用:如图3,在四边形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于点O,以O为顶点,以BC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,点P为线段OC上一动点(不与端点O、C重合)
(i)当∠APD=60°时,求点P的坐标;
(ii)过点P作PE⊥PD,交y轴于点E,设PO=x,OE=y,求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.manfen5.com 满分网
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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