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在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=....

manfen5.com 满分网在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=manfen5.com 满分网.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
(1)求点B的坐标;
(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F,求直线DE的解析式;
(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)过B作BH⊥x轴于H,则OH=BC=3,进而可求得AH的长,在Rt△ABH中,根据勾股定理即可求出BH的长,由此可得B点坐标; (2)过E作EG⊥x轴于G,易得△OGE∽△OHB,根据相似三角形的对应边成比例可求出EG、OG的长,即可得到E点的坐标,进而可用待定系数法求出直线DE的解析式; (3)此题应分情况讨论: ①以OD、ON为边的菱形ODMN,根据直线DE的解析式可求出F点的坐标,即可得到OF的长;过M作MP⊥y轴于P,通过构建的相似三角形可求出M点的坐标,将M点向下平移OD个单位即可得到N点的坐标; ②以OD、OM为边的菱形ODNM,此时MN∥y轴,延长NM交x轴于P,可根据直线DE的解析式用未知数设出M点的坐标,进而可在Rt△OMP中,由勾股定理求出M点的坐标,将M点向上平移OD个单位即可得到N点的坐标; ③以OD为对角线的菱形OMCN,根据菱形对角线互相垂直平分的性质即可求得M、N的纵坐标,将M点纵坐标代入直线DE的解析式中即可求出M点坐标,而M、N关于y轴对称,由此可得到N点的坐标. 【解析】 (1)作BH⊥x轴于点H,则四边形OHBC为矩形, ∴OH=CB=3,(1分) ∴AH=OA-OH=6-3=3, 在Rt△ABH中,BH===6,(2分) ∴点B的坐标为(3,6);(3分) (2)作EG⊥x轴于点G,则EG∥BH, ∴△OEG∽△OBH,(4分) ∴, 又∵OE=2EB, ∴, ∴=, ∴OG=2,EG=4, ∴点E的坐标为(2,4),(5分) 又∵点D的坐标为(0,5), 设直线DE的解析式为y=kx+b, 则, 解得k=-,b=5, ∴直线DE的解析式为:y=-x+5;(7分) (3)答:存在(8分) ①如图1,当OD=DM=MN=NO=5时,四边形ODMN为菱形.作MP⊥y轴于点P,则MP∥x轴,∴△MPD∽△FOD ∴, 又∵当y=0时,-x+5=0, 解得x=10, ∴F点的坐标为(10,0), ∴OF=10, 在Rt△ODF中,FD===5, ∴, ∴MP=2,PD=, ∴点M的坐标为(-2,5+), ∴点N的坐标为(-2,);(10分) ②如图2,当OD=DN=NM=MO=5时,四边形ODNM为菱形.延长NM交x轴于点P,则MP⊥x轴. ∵点M在直线y=-x+5上, ∴设M点坐标为(a,-a+5), 在Rt△OPM中,OP2+PM2=OM2, ∴a2+(-a+5)2=52, 解得:a1=4,a2=0(舍去), ∴点M的坐标为(4,3), ∴点N的坐标为(4,8);(12分) ③如图3,当OM=MD=DN=NO时,四边形OMDN为菱形,连接NM,交OD于点P,则NM与OD互相垂直平分, ∴yM=yN=OP=, ∴-xM+5=, ∴xM=5, ∴xN=-xM=-5, ∴点N的坐标为(-5,),(14分) 综上所述,x轴上方的点N有三个,分别为N1(-2,),N2(4,8),N3(-5,). (其它解法可参照给分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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