如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分...

如图，ABCD是矩形纸片，翻折∠B，∠D，使BC，AD恰好落在AC上．设F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．
（1）求证：四边形AECG是平行四边形；
（2）若AB=4cm，BC=3cm，求线段EF的长．

（1）根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明AG∥CE，AE∥CG即可；（2）解法1：在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的长求出；解法2，通过△AEF∽△ACB，可将线段EF的长求出．（1）证明：在矩形ABCD中， ∵AD∥BC， ∴∠DAC=∠BCA．由题意，得∠GAH=∠DAC，∠ECF=∠BCA． ∴∠GAH=∠ECF， ∴AG∥CE．又∵AE∥CG， ∴四边形AECG是平行四边形．（2）解法1：在Rt△ABC中， ∵AB=4，BC=3， ∴AC=5． ∵CF=CB=3， ∴AF=2．在Rt△AEF中，设EF=x，则AE=4-x．根据勾股定理，得AE2=AF2+EF2，即（4-x）2=22+x2．解得x=，即线段EF长为cm．解法2： ∵∠AFE=∠B=90°，∠FAE=∠BAC， ∴△AEF∽△ACB， ∴． ∴，解得，即线段EF长为cm．

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考点分析：

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（2）若AB=7，CD=3，求线段EF的长．

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试题属性

题型：解答题
难度：中等