如图所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，...

如图所示，等腰梯形ABCD中，DC∥AB，对角线AC与BD交于点O，AD=DC，AC=BD=AB．
（1）若∠ABD=a，求a的度数；
（2）求证：OB²=OD•BD．

（1）根据DC∥AB，AD=DC，可以得到∠DAC=∠BAC，又等腰梯形ABCD中∠BAC=∠ABD，在等腰△ABD中，BD=AB利用三角形内角和定理列式求解即可；（2）根据角的度数，AD=AO=OB，△AOD∽△BAD，根据相似三角形对应边成比例求解即可．（1）【解析】 ∵DC∥AB， ∴∠DCA=∠CAB， ∵AD=DC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴∠DAC=∠CAB， ∴∠DAB=2∠CAB=2α，在等腰梯形ABCD中，∠CAB=∠ABD=α，又∵BD=AB， ∴∠DAB=∠ADB， ∴在△ABD中， α+2×2α=180°，解得α=36°；（2）证明：∵α=36°， ∴∠DAC=∠CAB=36°， ∠ADB=∠DAB=36°×2=72°， ∴AD=AO=OB，△AOD∽△BAD， ∴， ∴AD2=OD•BD，即OB2=OD•BD．

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考点分析：

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如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．
（1）如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y₁（cm²），求y₁（cm²）关于t（秒）的函数关系式；
（2）如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y₂（cm²），求y₂（cm²）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
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（2）若a=5厘米，求时间t，使△PNB∽△PAD，并求出它们的相似比；
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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F
（1）求证：BF=AD+CF；
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试题属性

题型：解答题
难度：中等