如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B...

（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积； ②E、A不重合时；易证得△AEM≌△FDM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMG同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NCM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MC的比例关系式，即可求得MG的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式； （2）可分别作出E、A重合和E、B重合时P点的位置（即P为A与E重合时得到的对应点，P′为E与B重合时的对应点），此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解． 【解析】 （1）当点E与点A重合时，x=0，y=×2×2=2 当点E与点A不重合时，0＜x≤2 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90° ∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF 在△AME和△DMF中 ， ∴△AME≌△DMF（ASA） ∴ME=MF 在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME= ∴EF=2ME=2 过M作MN⊥BC，垂足为N（如图） 则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ∴∠AME+∠EMN=90° ∵∠EMG=90° ∴∠GMN+∠EMN=90° ∴∠AME=∠GMN ∴Rt△AME∽Rt△NMG ∴=，即= ∴MG=2ME=2 ∴y=EF×MG=×2×2=2x2+2 ∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分） （2）如图，PP′即为P点运动的距离； 在Rt△BMG′中，MG⊥BG′； ∴∠MBG=∠G′MG=90°-∠BMG； ∴tan∠MBG==2， ∴tan∠GMG′=tan∠MBG==2； ∴GG′=2MG=4； △MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点， ∴PP′是△MGG′的中位线； ∴PP′=GG′=2； 即：点P运动路线的长为2．（8分）