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已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与C重...

已知:如图所示的一张矩形纸片ABCD(AD>AB),将纸片折叠一次,使点A与C重合,再展开,折痕EF交AD边于E,交BC边于F,分别连接AF和CE.
(1)求证:四边形AFCE是菱形;
(2)若AE=10cm,△ABF的面积为24cm2,求△ABF的周长;
(3)在线段AC上是否存在一点P,使得2AE2=AC•AP?若存在,请说明点P的位置,并予以证明;若不存在,请说明理由.

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(1)因为是对折所以AO=CO,利用三角形全等证明EO=FO,四边形便是菱形; (2)因为面积是24,也就是AB、BF的积可以求出,所以求周长只要求出AB、BF的和就可以,而结合勾股定理它们和的平方减去乘积二倍就是AF的平方; (3)因为AC=AO所以可以从与△AOE相似的角度考虑,即过E作EP⊥AD. (1)证明:连接EF交AC于O, 当顶点A与C重合时,折痕EF垂直平分AC, ∴OA=OC,∠AOE=∠COF=90°(1分) ∵在矩形ABCD中,AD∥BC, ∴∠EAO=∠FCO, ∴△AOE≌△COF(ASA). ∴OE=OF(2分) ∴四边形AFCE是菱形.(3分) (2)【解析】 四边形AFCE是菱形,∴AF=AE=10. 设AB=x,BF=y,∵∠B=90, ∴(x+y)2-2xy=100① 又∵S△ABF=24,∴xy=24,则xy=48.②(5分) 由①、②得:(x+y)2=196(6分) ∴x+y=14,x+y=-14(不合题意舍去) ∴△ABF的周长为x+y+AF=14+10=24.(7分) (3)【解析】 过E作EP⊥AD交AC于P,则P就是所求的点.(9分) 证明:由作法,∠AEP=90°, 由(1)得:∠AOE=90°,又∠EAO=∠EAP, ∴△AOE∽△AEP(AA), ∴=,则AE2=AO•AP(10分) ∵四边形AFCE是菱形,∴AO=AC,AE2=AC•AP(11分) ∴2AE2=AC•AP(12分) 即P的位置是:过E作EP⊥AD交AC于P.
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考点分析:
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(1)求证:△ABE∽△ADF;
(2)若AG=AH,求证:四边形ABCD是菱形.

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(1)求∠C的度数;
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在Rt△ABC中,∠ACB=90°,中线AE与中线CD交于点O,AB=6.
(1)求证:AO:OE=2:1;
(2)求OC的长.

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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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