已知：△ABC是任意三角形． （1）如图1所示，点M、P、N分别是边AB、BC、...

（1）由三角形的中位线定理可得到四边形AMPN是平行四边形，故有∠MPN=∠A； （2）由平行线分线段成比例，可得到四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形，有∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A，故∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A． （3）类似地，可得到∠MP1N+∠MP2N+…+∠MP2009N=∠A． （1）证明：∵点M、P、N分别是AB、BC、CA的中点， ∴线段MP、PN是△ABC的中位线， ∴MP∥AN，PN∥AM，（1分） ∴四边形AMPN是平行四边形，（2分） ∴∠MPN=∠A．（3分） （2）【解析】 ∠MP1N+∠MP2N=∠A正确．（4分） 如图所示，连接MN，（5分） ∵，∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC， ∴∠AMN=∠B，， ∴MN∥BC，MN=BC，（6分） ∵点P1、P2是边BC的三等分点， ∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，MN与P2C平行且相等， ∴四边形MBP1N、MP1P2N、MP2CN都是平行四边形， ∴MB∥NP1，MP1∥NP2，MP2∥AC， （7分） ∴∠MP1N=∠1，∠MP2N=∠2，∠BMP2=∠A， ∴∠MP1N+∠MP2N=∠1+∠2=∠BMP2=∠A． （3）【解析】 ∠A． 理由：连接MN， ∵，∠A=∠A， ∴△AMN∽△ABC， ∴∠AMN=∠B，， ∴MN∥BC，MN=BC， ∵P1、P2、…、P2009是边BC的2010等分点， ∴MN与BP1平行且相等，MN与P1P2平行且相等，…，MN与P2009C平行且相等， ∴四边形MBP1N、MP1P2N、…、MP2009CN都是平行四边形， ∴MB∥NP1，MP1∥NP2，…，MP2009∥AC， ∴∠MP1N=∠BMP1，∠MP2N=∠P1MP2，…，∠BMP2009=∠A， ∴∠MP1N+∠MP2N=∠BMP1+∠P1MP2+…+∠P2008MP2009=∠BMP2009=∠A．