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在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC所在的直线上运动,...

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC所在的直线上运动,作∠ADE=45°(A,D,E按逆时针方向).
(1)如图1,若点D在线段BC上运动,DE交AC于E.
①求证:△ABD∽△DCE;
②当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
(2)①如图2,若点D在BC的延长线上运动,DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E,是否存在点D,使△ADE'是等腰三角形?若存在,写出所有点D的位置;若不存在,请简要说明理由;
②如图3,若点D在BC的反向延长线上运动,是否存在点D,使△ADE是等腰三角形?若存在,写出所有点D的位置;若不存在,请简要说明理由.
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(1)由∠ADB+∠BAD=135°,∠ADB+∠CDE=135°,得出∠BAD=∠CDE;第二问分AD=AE、AD=DE、AE=DE三种情况讨论. (2)存在,可证△ADC∽△AE′D,第二小题不存在(矛盾的结论). 【解析】 (1)①由∠BAC=90°,AB=AC,推出∠B=∠C=45°. 由∠BAD+∠ADB=135°,∠ADB+∠EDC=135°得到∠BAD=∠EDC. 推出△ABD∽△DCE. ②分三种情况: (ⅰ)当AD=AE时,∠ADE=∠AED=45°时,得到∠DAE=90°,点D、E分别与B、C重合,所以AE=AC=2. (ⅱ)当AD=DE时,由①知△ABD∽△DCE, 又AD=DE,知△ABD≌△DCE. 所以AB=CD=2,故BD=CE=2, 所以AE=AC-CE=4-2. (ⅲ)当AE=DE时,有∠EAD=∠ADE=45°=∠C, 故∠ADC=∠AED=90°. 所以DE=AE=AC=1. (2)①存在(只有一种情况). 由∠ACB=45°推出∠CAD+∠ADC=45°. 由∠ADE=45°推出∠DAC+∠DE′A=45°. 从而推出∠ADC=∠DE′A.证得△ADC∽△AE′D. 所以,又AD=DE′,所以DC=AC=2. ②不存在. 因为D和B不重合, 所以∠AED<45°,∠ADE=45°, ∠DAE>90度. 所以AD≠AE, 同理可得:AE≠DE.
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考点分析:
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(1)如图2,请你用以上小明的方法,对等腰直角三角形进行验证,判断小明的猜测是否正确,并写出验证过程;
(2)如图3,你认为小明的猜想是否正确?若认为正确,请你证明;否则,请说明理由;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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