已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点B（2，0）和点C（0，8），且它...

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线x=-2．
（1）求抛物线与x轴的另一交点A的坐标；
（2）求此抛物线的解析式；
（3）连接AC，BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A，点B）不重合，过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

（1）知道对称轴了和x轴上另一点，就能求出该点．（2）知道两点坐标和对称轴就能求出抛物线的解析式．（3）依题意，AE=m，则BE=8-m，由题意可知△BEF∽△BAC，求出EF，过点F作FG⊥AB，垂是为G，则sin∠FEG=sin∠CAB，进而求出FG，由S=S△BCE-S△BFE，进而求得S与m之间的函数关系式．（4）由S与m之间的函数关系式，求得S的最大值，算出点E坐标，判断三角形的形状．【解析】（1）∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2， ∴由对称性可得A点的坐标为（-6，0）；（2）∵点C（0，8）在抛物线y=ax2+bx+c的图象上 ∴c=8．将A（-6，0），B（2，0）代入表达式得，解得．故所求解析式为y=-x2-x+8．（3）依题意，AE=m，则BE=8-m， ∵OA=6，OC=8， ∴AC=10， ∵EF∥AC， ∴△BEF∽△BAC， ∴，即EF=，过点F作FG⊥AB，垂是为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=， ∴=， ∴FG=×=8-m， ∴S=S△BCE-S△BFE． =（8-m）×8-（8-m）（8-m）， =-m2+4m，（4）存在．理由如下： ∵S=-m2+4m=-（m-4）2+8且-＜0， ∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8， ∵m=4， ∴点E的坐标为（-2，0）， ∴△BCE为等腰三角形．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等