如图，抛物线y=ax2+bx+1与x轴交于两点A（-1，0），B（1，0），与y...

（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出待定系数的值； （2）先求出直线AC的解析式，由于BD∥AC，那么直线BD的斜率与直线AC的相同，可据此求出直线BD的解析式，联立抛物线的解析式即可求出D点的坐标；由图知四边形ACBD的面积是△ABC和△ABD的面积和，由此可求得其面积； （3）易知OA=OB=OC=1，那么△ACB是等腰直角三角形，由于AC∥BD，则∠CBD=90°；根据B、C的坐标可求出BC、BD的长，进而可求出它们的比例关系；若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，那么两个直角三角形的对应直角边应该成立，可据此求出△AMN两条直角边的比例关系，连接抛物线的解析式即可求出M点的坐标． 【解析】 （1）依题意，得：，解得； ∴抛物线的解析式为：y=-x2+1； （2）易知A（-1，0），C（0，1），则直线AC的解析式为：y=x+1； 由于AC∥BD，可设直线BD的解析式为y=x+h，则有：1+h=0，h=-1； ∴直线BD的解析式为y=x-1；联立抛物线的解析式得： ，解得，； ∴D（-2，-3）； ∴S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=×2×1+×2×3=4； （3）∵OA=OB=OC=1， ∴△ABC是等腰Rt△； ∵AC∥BD， ∴∠CBD=90°； 易求得BC=，BD=3； ∴BC：BD=1：3； 由于∠CBD=∠MNA=90°，若以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似，则有： △MNA∽△CBD或△MNA∽△DBC，得： =或=3； 即MN=AN或MN=3AN； 设M点的坐标为（x，-x2+1）， ①当x＞1时，AN=x-（-1）=x+1，MN=x2-1； ∴x2-1=（x+1）或x2-1=3（x+1） 解得x=，x=-1（舍去）或x=4，x=-1（舍去）； ∴M点的坐标为：M（，-）或（4，-15）； ②当x＜-1时，AN=-1-x，MN=x2-1； ∴x2-1=（-x-1）或x2-1=3（-x-1） 解得x=，x=-1（两个都不合题意，舍去）或x=-2，x=-1（舍去）； ∴M（-2，-3）； 故存在符合条件的M点，且坐标为：M（，-）或（4，-15）或（-2，-3）．