在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，CD是斜边AB上的高，点E在斜边...

（1）先根据勾股定理求出AB的长，再根据Rt△ADC∽Rt△ACB，利用其相似比即可求出AD的长； （2）①分别根据x的取值范围及三角形的面积公式分类可得x、y的函数关系式； ②根据①中所求的函数关系式求出其最值即可． （3）先求得△ABC的面积的，进而得到△AEF得到面积的函数关系式，让它等于3列式即可求解． 【解析】 （1）∵△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4， ∴AB==5， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=∠ACB， 又∠CAD=∠CAD， ∴Rt△ADC∽Rt△ACB， ∴=，即=，AD=． （2）①由于E的位置不能确定，故应分两种情况讨论： 如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤时， ∵EF⊥AB， ∴Rt△AEF∽Rt△ACB，即=， ∵AC=3，BC=4，AE=x， ∴=，EF=x， S△AEF=y=AE•EF=x•x=x2． 如图B：当AD＜x≤AB，即＜x≤5时， ∵EF⊥AB， ∴Rt△BEF∽Rt△BCA， ∴=， ∵AE=x，△AEF的面积为y，=， ∴EF=， y=×AE×EF=x•=-． ②当如图A：当0＜x≤AD，即0＜x≤时， S△AEF=y=AE•EF=x•x=x2，当x=AD，即x=时，y最大=×（）2=． 如图B：当AD＜x≤BD，即＜x≤5时， y=x×（5-x）=-，y最大=，此时x=2.5＜5，故成立． 故y最大=． （3）不存在． 根据题意可知：直线EF把△ABC的周长分为相等的两部分， 即AC+CF+AE=FB+EB， 又∵CF+FB=BC， ∴3+x+4-FB=FB+5-x，即FB=x+1， ∵sinB==， ∴EF=FB•sinB=（x+1）， 又∵直线EF把△ABC的面积分为相等的两部分， ∴S△EFB=EB•FE=S△ABC=3， 即（5-x）•（x+1）=3， 化简得：x2-4x+5=0， ∵△=b2-4ac=16-20=-4＜0， ∴此方程无解， 故不存在x，直线EF将△ABC的周长和面积同时平分．