如图所示，P是△ABC边AC上的动点，以P为顶点作矩形PDEF，顶点D，E在边B...

（1）由根与系数的关系可得到a+h及ah的值，然后分别表示出正方形和矩形的面积，再根据根的判别式进行判断即可； （2）过D、E、F三点的⊙O一定是以DF为直径的圆，那么其面积为：（EF2+DE2）；而矩形PDEF的面积为：EF•DE；那么，可将看作一个整体，将两个图形的面积比转化为完全平方式，进而得出其最小值； （3）过B作BM⊥AQ于M，交直线PF于N；易证得△FBP∽△ABQ，根据相似三角形的对应线段成比例可得EP：AQ=BN：BM；而当（2）的面积比最小时，EF=DE，此时BN=FP，即AQ=BM=h；h是已知方程的一个根，由此可判断出AQ的长是否与m、n、k的取值有关． 【解析】 解法一： （1）据题意，∵a+h=，ah= ∴所求正方形与矩形的面积之比： =（1分） ∵n2-4mk≥0，∴n2≥4mk，由知m，k同号， ∴mk＞0 （2分） （说明：此处未得出mk＞0只扣（1分），不再影响下面评分） ∴（3分） 即正方形与矩形的面积之比不小于4． （2）∵∠FED=90°，∴DF为⊙O的直径． ∴⊙O的面积为：． （4分） 矩形PDEF的面积：S矩形PDEF=EF•DE． ∴面积之比：，设． = =．（6分） ∵，∴， ∴，即f=1时（EF=DE），的最小值为（7分） （3）当的值最小时，这时矩形PDEF的四边相等为正方形． 过B点过BM⊥AQ，M为垂足，BM交直线PF于N点，设FP=e， ∵BN∥FE，NF∥BE，∴BN=EF，∴BN=FP=e． 由BC∥MQ，得：BM=AG=h． ∵AQ∥BC，PF∥BC，∴AQ∥FP， ∴△FBP∽△ABQ． （8分） （说明：此处有多种相似关系可用，要同等分步骤评分） ∴=，（9分） ∴，∴AQ=h （10分） ∴（11分） ∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关． （解题过程叙述基本清楚即可） 解法二： （1）∵a，h为线段长，即a，h都大于0， ∴ah＞0 （1分）（说明：此处未得出ah＞0只扣（1分），再不影响下面评分） ∵（a-h）2≥0，当a=h时等号成立． 故，（a-h）2=（a+h）2-4ah≥0．（2分） ∴（a+h）2≥4ah， ∴≥4．（﹡） （3分） 这就证得≥4．（叙述基本明晰即可） （2）设矩形PDEF的边PD=x，DE=y，则⊙O的直径为． S⊙O=（4分），S矩形PDEF=xy = =（6分） 由（1）（*）． ∴． ∴的最小值是（7分） （3）当的值最小时， 这时矩形PDEF的四边相等为正方形． ∴EF=PF．作AG⊥BC，G为垂足． ∵△AGB∽△FEB，∴． （8分） ∵△AQB∽△FPB，，（9分） ∴=． 而EF=PF，∴AG=AQ=h，（10分） ∴AG=h=， 或者AG=h=（11分） ∴线段AQ的长与m，n，k的取值有关． （解题过程叙述基本清楚即可）