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如图,已知矩形ABCD,AB=,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以...

如图,已知矩形ABCD,AB=manfen5.com 满分网,BC=3,在BC上取两点E,F(E在F左边),以EF为边作等边三角形PEF,使顶点P在AD上,PE,PF分别交AC于点G,H.
(1)求△PEF的边长;
(2)在不添加辅助线的情况下,当F与C不重合时,从图中找出一对相似三角形,并说明理由;
(3)若△PEF的边EF在线段BC上移动.试猜想:PH与BE有何数量关系并证明你猜想的结论.

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(1)由题意知,等边△EFP的高与矩形的AB边相等从而根据三角函数即可求得其边长; (2)根据已知及相似三角形的判定方法即可证得相似三角形; (3)根据已知利用余切及三角形内外角的性质不难求得PH与BE的关系. 【解析】 (1)过P作PQ⊥BC于Q, ∵矩形ABCD, ∴∠B=90°,即AB⊥BC,又AD∥BC. ∴PQ=AB=. ∵△PEF是等边三角形, ∴∠PFQ=60°. 在Rt△PQF中sin60°=, ∴PF=2. ∴△PEF的边长为2. (2)方法一:△ABC∽△CDA. 理由:∵矩形ABCD, ∴AD∥BC, ∴∠1=∠2, ∴∠B=∠D=90°, ∴△ABC∽△CDA. 方法二:△APH∽△CFH. 理由:∵矩形ABCD, ∴AD∥BC, ∴∠2=∠1, 又∵∠3=∠4, ∴△APH∽△CFH. (3)猜想:PH与BE的数量关系是:PH-BE=1, 证法一:在Rt△ABC中,AB=,BC=3, ∴tan∠1=. ∴∠1=30°. ∵△PEF是等边三角形, ∴∠2=60°,PF=EF=2. ∵∠2=∠1+∠3, ∴∠3=30°. ∴∠1=∠3. ∴FC=FH. ∵PH+FH=2,BE+EF+FC=3,FC=FH,EF=2, ∴BE+FC=3-2=1, ∴PH-BE=1. 证法二:在Rt△ABC中,AB=,BC=3, ∴tan∠1=. ∴∠1=30°. ∵△PEF是等边三角形,PE=2, ∴∠2=∠4=∠5=60°. ∴∠6=90°. 在Rt△CEG中,∠1=30°, ∴EG=EC,即EG=(3-BE). 在Rt△PGH中,∠7=30°, ∴PG=PH. ∴PE=EG+PG=(3-BE)+PH=2. ∴PH-BE=1. 证法三:在Rt△ABC中,AB=,BC=3, ∴tan∠1=,AC2=AB2+BC2∴∠1=30°,AC=2. ∵△PEF是等边三角形, ∴∠4=∠5=60°.(3分) ∴∠6=∠8=90°. ∴△EGC∽△PGH, ∴. ∴① ∵∠1=∠1,∠B=∠6=90°, ∴△CEG∽△CAB. ∴即. ∴EG=(3-BE)② 把②代入①得,. ∴PH-BE=1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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