如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥...

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，说明理由．

（1）在△PFA与△ABE中，易得∠PAF=∠AEB及∠PFA=∠ABE=90°；故可得△PFA∽△ABE；（2）根据题意：若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB；必须有PE∥AB；分两种情况进而列出关系式．（1）证明：∵AD∥BC， ∴∠PAF=∠AEB． ∵∠PFA=∠ABE=90°， ∴△PFA∽△ABE．（2）【解析】若△EFP∽△ABE，则∠PEF=∠EAB． ∴PE∥AB． ∴四边形ABEP为矩形． ∴PA=EB=2，即x=2．若△PFE∽△ABE，则∠PEF=∠AEB． ∵∠PAF=∠AEB， ∴∠PEF=∠PAF． ∴PE=PA． ∵PF⊥AE， ∴点F为AE的中点． ∵AE==2， ∴EF=AE=． ∵，即， ∴PE=5，即x=5． ∴满足条件的x的值为2或5．

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等