如图，四边形OABC是等腰梯形，OA∥BC，A的坐标（4，0），B的坐标（3，2...

（1）分别过C、B作x轴的垂线，设垂足为D、E，根据B、A的坐标可知AE=1，根据等腰梯形的对称性知，OD=AE=1，而B、C的纵坐标相等，由此可确定C点的坐标，即可用待定系数法求出直线AC的解析式； （2）易知BC=2，可用t表示出CN的长，再根据∠NCQ（即∠CAD）的正切值求出NQ的长，进而可表示出QP的长；同理可用t表示出AM的长，以AM为底，PQ为高即可得到关于△AMQ的面积与t的函数关系式，根据所得函数的性质及自变量的取值范围即可求出△AMQ的最大面积及对应的t的值； （3）此题要分两种情况考虑： ①当M在点P左侧时，由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似则有两种可能： 一、△QPM∽△QPA（此时两三角形全等），二、△QPM∽△APQ； 根据上述两种情况所得的不同比例线段即可求出t的值； ②当M在P点右侧时，方法同①． 【解析】 （1）分别过C、B作CD⊥x轴于D，BE⊥x轴于E； 则AE=4-3=1，BE=CD=2； 由于四边形ABCO是等腰梯形，则OC=AB，∠COD=∠BAE； ∴Rt△COD≌Rt△BAE； ∴OD=AE=1，即C（1，2）； 设直线AC的解析式为：y=kx+b，则有： ， 解得； ∴直线AC的解析式为：y=-x+； （2）在Rt△ACD中，AD=3，CD=2； ∴tan∠CAD=； ∵BN=t，OM=3t， ∴CN=2-t，AM=4-3t； ∴QN=CN•tan∠NCQ=CN•tan∠CAD=（2-t）； ∴PQ=NP-NQ=2-（2-t）=； 设△AMQ的面积为S，则有： S=（4-3t）•=-t2+t+=-（t-）2+（0≤t≤2）， ∴当t=时，S值最大，且最大值为； （3）①当M点位于点P左侧时，即0≤t＜时； QP=，PM=3-4t，AP=t+1； 由于∠QPM=∠QPA=90°，若△PQM与△PQA相似，则有： （一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA； ∴PM=PA，即3-4t=t+1， 解得t=； （二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP，即： （t+1）2=（3-4t）（t+1）， 解得t=，t=-1（舍去）； ②当点M位于点P右侧时，即＜t≤2时； QP=，PM=4t-3，AP=t+1； 若△PQM与△PQA相似，则有： （一）、△QPM∽△QPA，由于QP=QP，则△QPM≌△QPA； 此时M、A重合， ∴≤t≤2； （二）、△QPM∽△APQ，则有：QP2=MP•AP， 即（t+1）2=（4t-3）（t+1）， 解得t=，t=-1（舍去）； 综上所述，当t的值为或或或≤t≤2时，△PQM与△PQA相似．