如图，在△OAB中，∠B=90°，∠BOA=30°，OA=4，将△OAB绕点O按...

（1）由题意可知，∠A′OA的度数和旋转角的度数相同，可过A′作x轴的垂线，在构建的直角三角形中可根据OA′的长和∠A′OA的度数求出A′的坐标； （2）已知了C，A′，A三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式； （3）本题要分三种情况进行讨论： ①以O为直角顶点，OA=OP=4，而OC=4，那么此时C点和P点重合，因此P点的坐标即为C点的坐标． ②以A为直角顶点，那么P点的坐标必为（4，4）或（4，-4）．可将这两个坐标代入抛物线的解析式中判定其是否在抛物线上即可． ③以P为直角顶点，那么P点在OA的垂直平分线上，且P点的坐标为（2，2）或（2，-2）然后按②的方法进行求解即可． 【解析】 （1）过点A′作A′D垂直于x轴，垂足为D，则四边形OB′A′D为矩形． 在△A′DO中，A′D=OA′•sin∠A′OD=4×sin60°=2， OD=A′B′=AB=2， ∴点A′的坐标为（2，2）； （2）∵C（0，4）在抛物线上， ∴c=4， ∴y=ax2+bx+4， ∵A（4，0），A′（2，2），在抛物线y=ax2+bx+4上， ∴， 解之得， ∴所求解析式为y=+（2-3）x+4； （3）①若以点O为直角顶点，由于OC=OA=4，点C在抛物线上，则点P（0，4）为满足条件的点． ②若以点A为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（4，4）或（4，-4），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上． ③若以点P为直角顶点，则使△PAO为等腰直角三角形的点P的坐标应为（2，2）或（2，-2），代入抛物线解析式中 知此两点不在抛物线上． 综上述在抛物线上只有一点P（0，4）使△OAP为等腰直角三角形．