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如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点. (...

如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(1,0),B(-3,0)两点.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)设(1)中的抛物线交y轴与C点,在该抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得△QAC的周长最小?若存在,求出Q点的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使△PBC的面积最大?若存在,求出点P的坐标及△PBC的面积最大值;若没有,请说明理由.

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(1)根据题意可知,将点A、B代入函数解析式,列得方程组即可求得b、c的值,求得函数解析式; (2)根据题意可知,边AC的长是定值,要想△QAC的周长最小,即是AQ+CQ最小,所以此题的关键是确定点Q的位置,找到点A的对称点B,求得直线BC的解析式,求得与对称轴的交点即是所求; (3)存在,设得点P的坐标,将△BCP的面积表示成二次函数,根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标. 【解析】 (1)将A(1,0),B(-3,0)代y=-x2+bx+c中得 (2分) ∴(3分) ∴抛物线解析式为:y=-x2-2x+3;(4分) (2)存在(5分) 理由如下:由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称 ∴直线BC与x=-1的交点即为Q点,此时△AQC周长最小 ∵y=-x2-2x+3 ∴C的坐标为:(0,3) 直线BC解析式为:y=x+3(6分) Q点坐标即为 解得 ∴Q(-1,2);(7分) (3)存在.(8分) 理由如下:设P点(x,-x2-2x+3)(-3<x<0) ∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO- 若S四边形BPCO有最大值,则S△BPC就最大, ∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC(9分) =BE•PE+OE(PE+OC) =(x+3)(-x2-2x+3)+(-x)(-x2-2x+3+3) = 当x=-时,S四边形BPCO最大值= ∴S△BPC最大=(10分) 当x=-时,-x2-2x+3= ∴点P坐标为(-,).(11分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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