如图①，②，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，0），以点A为圆心，4为...

（1）OA=AC首先三角形OAC是个等腰三角形，因为∠AOC=60°，三角形AOC是个等边三角形，因此∠OAC=60°； （2）如果PC与圆A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度数，有A点的坐标也就有了AC的长，可根据余弦函数求出PA的长，然后由PO=PA-OA得出OP的值． （3）本题分两种情况： ①以O为顶点，OC，OQ为腰．那么可过C作x轴的垂线，交圆于Q，此时三角形OCQ就是此类情况所说的等腰三角形；那么此时PO可在直角三角形OCP中，根据∠COA的度数，和OC即半径的长求出PO． ②以Q为顶点，QC，QD为腰，那么可做OC的垂直平分线交圆于Q，则这条线必过圆心，如果设垂直平分线交OC于D的话，可在直角三角形AOQ中根据∠QAE的度数和半径的长求出Q的坐标；然后用待定系数法求出CQ所在直线的解析式，得出这条直线与x轴的交点，也就求出了PO的值． 【解析】 （1）∵∠AOC=60°，AO=AC， ∴△AOC是等边三角形， ∴∠OAC=60°． （2）∵CP与⊙A相切， ∴∠ACP=90°， ∴∠APC=90°-∠OAC=30°； 又∵A（4，0）， ∴AC=AO=4， ∴PA=2AC=8， ∴PO=PA-OA=8-4=4． （3）①过点C作CP1⊥OB，垂足为P1，延长CP1交⊙A于Q1； ∵OA是半径， ∴， ∴OC=OQ1， ∴△OCQ1是等腰三角形； 又∵△AOC是等边三角形， ∴P1O=OA=2； ②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q2，CQ2与x轴交于P2； ∵A是圆心， ∴DQ2是OC的垂直平分线， ∴CQ2=OQ2， ∴△OCQ2是等腰三角形； 过点Q2作Q2E⊥x轴于E， 在Rt△AQ2E中， ∵∠Q2AE=∠OAD=∠OAC=30°， ∴Q2E=AQ2=2，AE=2， ∴点Q2的坐标（4+，-2）； 在Rt△COP1中， ∵P1O=2，∠AOC=60°， ∴， ∴C点坐标（2，）； 设直线CQ2的关系式为y=kx+b，则 ， 解得， ∴y=-x+2+2； 当y=0时，x=2+2， ∴P2O=2+2．