如图，已知∠MAO=90°，△ABC为等边三角形，OA=4，AB=a，以O为圆心...

（1）△ABC是等边三角形，则AB=AC，∠BAC=60°；在Rt△OAC中，根据OA的长和∠OAC的度数，易求得AC的长，即可得到关于a的等量关系式，由此得解； （2）过O作AC的垂线，设垂足为D；同（1）可求得AD的长，此时发现AC=2AD，即OD垂直平分AC，得OA=OC，则OA为⊙O的半径，而OA⊥AM，所以此时⊙O与AB相切； （3）延长FE交AO的延长线于N，过O作OP⊥EN于P；过C作CD⊥AO于D；可用a分别在Rt△AFN和Rt△ACD中表示出AN、AD、CD的长，进而可表示出OD、ON、OP的长；由于⊙O与FN相切，那么此时⊙O同时经过C、P两点，则OP=OC，可据此列出关于a的等量关系式求出a的值． 【解析】 （1）∵⊙O与AC相切于C， ∴OC⊥AC于C， 又∵∠OAM=90°，△ACB为等边三角形，则： AC=AB=，∠OAC=30°，OC=AO=2， ∴42=22+（）2， ∴a=1； （2）∵a=2，∴AB=AC=4， 过O作OD⊥AC于D，在直角△AOD中， ∠OAC=90°-60°=30°，OA=4， ∴OD=2，AD=， ∴DC=AD=2， ∴OD垂直平分AC，则半径OC=OA=4； ∵∠OAM=90° ∴⊙O与AB相切； （3）延长FE交射线AO于N，作OP⊥EN于P，CD⊥AO于D， 易得CD=a，AD=3a，OD=4-3a； ∵AF=4a，∠ANF=30°， ∴AN=12a，ON=12a-4， ∴OP=6a-2， ∵OP=OC，即OP2=OC2， ∴（6a-2）2=（a）2+（4-3a）2， a=．