如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10． （...

（1）求面积要先求梯形的高，可根据两底的差和CD的长，在直角三角形中用勾股定理进行求解，得出高后即可求出梯形的面积． （2）①PQ平分梯形的周长，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的长，可以用t来表示出AP，BP，CQ，QD的长，那么可根据上面的等量关系求出t的值． ②本题要分三种情况进行讨论： 一，当P在AB上时，即0＜t≤8，如果两三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根据∠C的正切值，求出t的值． 二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于P，A，D在一条直线上，因此构不成三角形． 三，当P在CD上时，即10＜t≤12，由于∠ADC是个钝角，因此△ADP是个钝角三角形因此不可能和直角△CQE相似． 综合三种情况即可得出符合条件的t的值． （3）和（2）相同也要分三种情况进行讨论： 一，当P在AB上时，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ为腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通过构建直角三角形来表示出DP，PQ的长，然后根据得出的等量关系来求t的值． 二，当P在AD上时，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10-t，因此DP，DQ恒相等． 三，当P在CD上时，即10＜t≤12，情况同二． 综合三种情况可得出等腰三角形以DQ为腰时，t的取值． 【解析】 （1）过D作DH∥AB交BC于H点， ∵AD∥BH，DH∥AB， ∴四边形ABHD是平行四边形． ∴DH=AB=8；BH=AD=2． ∴CH=8-2=6． ∵CD=10， ∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°． ∠B=∠DHC=90°． ∴梯形ABCD是直角梯形． ∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40． （2）①∵BP=CQ=t， ∴AP=8-t，DQ=10-t， ∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ， ∴8-t+2+10-t=t+8+t． ∴t=3＜8． ∴当t=3秒时，PQ将梯形ABCD周长平分． ②第一种情况：0＜t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C== ∴=，∴t= 若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==，∴= ∴t= 第二种情况：8＜t≤10，P、A、D三点不能组成三角形； 第三种情况：10＜t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似； ∴t=或t=时，△PAD与△CQE相似． ③第一种情况：当0≤t≤8时．过Q点作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足为E、H． ∵AP=8-t，AD=2， ∴PD==． ∵CE=t，QE=t， ∴QH=BE=8-t，BH=QE=t． ∴PH=t-t=t． ∴PQ==，DQ=10-t． Ⅰ：DQ=DP，10-t=， 解得t=8秒． Ⅱ：DQ=PQ，10-t=， 化简得：3t2-52t+180=0 解得：t=，t=＞8（不合题意舍去） ∴t= 第二种情况：8≤t≤10时．DP=DQ=10-t． ∴当8≤t＜10时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 第三种情况：10＜t≤12时．DP=DQ=t-10． ∴当10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立． 综上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12时，以DQ为腰的等腰△DPQ成立．