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已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0. (1)求证:无论k取任意实数值,...

已知关于x的方程x2-(k+2)x+2k=0.
(1)求证:无论k取任意实数值,方程总有实数根.
(2)若等腰三角形ABC的一边a=1,另两边长b、c恰是这个方程的两个根,求△ABC的周长.
(1)把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式,得出△≥0可知方程总有实数根. (2)根据等腰三角形的性质分情况讨论求出b,c的长,并根据三角形三边关系检验,综合后求出△ABC的周长. 证明:(1)∵△=b2-4ac=(k+2)2-8k=(k-2)2≥0, ∴无论k取任意实数值,方程总有实数根. 【解析】 (2)分两种情况: ①若b=c, ∵方程x2-(k+2)x+2k=0有两个相等的实数根, ∴△=b2-4ac=(k-2)2=0, 解得k=2, ∴此时方程为x2-4x+4=0,解得x1=x2=2, ∴△ABC的周长为5; ②若b≠c,则b=a=1或c=a=1,即方程有一根为1, ∵把x=1代入方程x2-(k+2)x+2k=0,得1-(k+2)+2k=0, 解得k=1, ∴此时方程为x2-3x+2=0, 解得x1=1,x2=2, ∴方程另一根为2, ∵1、1、2不能构成三角形, ∴所求△ABC的周长为5. 综上所述,所求△ABC的周长为5.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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