如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE．...

（1）利用已知条件，可证出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF． （2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因为CE=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD． （3）过C作CG⊥AD，交AD延长线于G，先证四边形ABCG是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 再设DE=x，利用（1）、（2）的结论，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE． （1）证明：在正方形ABCD中， ∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF， ∴△CBE≌△CDF． ∴CE=CF． （2）【解析】 GE=BE+GD成立． ∵△CBE≌△CDF， ∴∠BCE=∠DCF． ∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD． 即∠ECF=∠BCD=90°． 又∠GCE=45°， ∴∠GCF=∠GCE=45°． ∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC， ∴△ECG≌△FCG． ∴EG=GF． ∴GE=DF+GD=BE+GD． （3）【解析】 过C作CG⊥AD，交AD延长线于G， 在直角梯形ABCD中， ∵AD∥BC，∠A=∠B=90°， 又∠CGA=90°，AB=BC， ∴四边形ABCG为正方形． ∴AG=BC=12． 已知∠DCE=45°，根据（1）（2）可知，ED=BE+DG， 设DE=x，则DG=x-4， ∴AD=AG-DG=16-x，AE=AB-BE=12-4=8． 在Rt△AED中 ∵DE2=AD2+AE2，即x2=（16-x）2+82 解得：x=10． ∴DE=10．