如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．（...

如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A（1，0），B（-3，0）两点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．

（1）根据题意可知，将点A、B代入函数解析式，列得方程组即可求得b、c的值，求得函数解析式；（2）根据题意可知，边AC的长是定值，要想△QAC的周长最小，即是AQ+CQ最小，所以此题的关键是确定点Q的位置，找到点A的对称点B，求得直线BC的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；（3）存在，设得点P的坐标，将△BCP的面积表示成二次函数，根据二次函数最值的方法即可求得点P的坐标．【解析】（1）将A（1，0），B（-3，0）代y=-x2+bx+c中得（2分） ∴（3分） ∴抛物线解析式为：y=-x2-2x+3；（4分）（2）存在（5分）理由如下：由题知A、B两点关于抛物线的对称轴x=-1对称 ∴直线BC与x=-1的交点即为Q点，此时△AQC周长最小 ∵y=-x2-2x+3 ∴C的坐标为：（0，3）直线BC解析式为：y=x+3（6分） Q点坐标即为解得 ∴Q（-1，2）；（7分）（3）存在．（8分）理由如下：设P点（x，-x2-2x+3）（-3＜x＜0） ∵S△BPC=S四边形BPCO-S△BOC=S四边形BPCO- 若S四边形BPCO有最大值，则S△BPC就最大， ∴S四边形BPCO=S△BPE+S直角梯形PEOC（9分） =BE•PE+OE（PE+OC） =（x+3）（-x2-2x+3）+（-x）（-x2-2x+3+3） = 当x=-时，S四边形BPCO最大值= ∴S△BPC最大=（10分）当x=-时，-x2-2x+3= ∴点P坐标为（-，）．（11分）

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考点分析：

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试题属性

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