如图，⊙C经过原点且与两坐标轴分别交于点A和点B，点A的坐标为（0，2），点B的...

（1）根据A、B的坐标，即可求得OA、OB的长，进而可根据勾股定理求出AB的长； （2）由于∠AOB=90°，由圆周角定理知AB即为⊙C的直径，根据AB的长即可求得⊙C的半径；若过C作y轴的垂线，根据三角形中位线定理，很明显的可以看出C点横坐标是B点横坐标的一半，C点纵坐标是A点纵坐标的一半，由此得解； （3）由图知：若△POB是等腰三角形，则P点一定是OB垂直平分线与⊙C的交点，可据此求出P点的坐标及∠BOP的度数． 【解析】 （1）∵A（0，2），B（2，0） ∴OA=2，OB=2； Rt△OAB中，由勾股定理，得：AB==4； （2）∵∠AOB=90°， ∴AB是⊙C的直径； ∴⊙C的半径r=2； 过C作CE⊥y轴于E，则CE∥OB； ∵C是AB的中点， ∴CE是△AOB的中位线， 则OE=OA=1，CE=OB=，即C（，1）； 故⊙C的半径为2，C（，1）； （3）作OB的垂直平分线，交⊙C于M、N，交OB于D； 如图；连接OC； 由垂径定理知：MN必过点C，即MN是⊙C的直径； ∴M（，3），N（，-1）； 在Rt△OMD中，MD=3，OD=， ∴∠BOM=60°； ∵MN是直径， ∴∠MON=90°，∠BON=30°； 由于MN垂直平分OB，所以△OBM、△OBN都是等腰三角形，因此M、N均符合P点的要求； 故存在符合条件的P点：P1（，3），∠BOP1=60°； P2（，-1），∠BOP2=30°．