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如图,⊙O与矩形ABCD的边BC相切于点F,与边AB的延长线相切于点E,且顶点D...

如图,⊙O与矩形ABCD的边BC相切于点F,与边AB的延长线相切于点E,且顶点D刚好在直线EF上.
(1)图中共有哪些个角等于45°?不添加任何辅助线,直接写出角的名称即可;
(2)若AB=2,AD=3,求⊙O的半径及图中阴影部分面积;
(3)点P在矩形ABCD的边AD上移动,连接PF并延长交⊙O于点Q,那么当点P移动时,请你探究∠DPF与∠FEQ的大小关系,并说明理由.

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(1)根据切线长定理发现等腰直角三角形,再进一步结合对顶角相等和平行线的性质写出所有等于45°的角; (2)连接OF、OE.发现正方形OFBE,要求圆的半径,即求BF的长,根据平行线分线段成比例定理均可求解,阴影部分的面积即为扇形OFE的面积减去三角形OEF的面积; (3)根据圆周角定理求得∠Q=45°,根据三角形的内角和定理即可证明两角相等. 【解析】 (1)∠BEF、∠BFE、∠CDF、∠CFD、∠ADF. (2)连接OF、OE,则四边形OEBF是正方形. 设圆的半径是r. ∵AD∥BC, ∴, 即, r=1或r=0(不合题意,应舍去). 即圆的半径是1. 阴影部分的面积=π-. 【解析】 ∠DPF=∠FEQ.理由如下: ∵BE、BF是圆的切线, ∴BE=BF. ∴∠BFE=∠BEF=45°. ∵AD∥BC, ∴∠ADF=45°. ∵四边形OEBF是正方形, ∴∠EOF=90°. ∴∠Q=45°=∠ADF. 又∠PFD=∠QFE, ∴∠DPF=∠FEQ.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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